home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Garbo / Garbo.cdr / mac / util / cocoa.sit / Cocoa Presentation < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1989-05-27  |  3.9 KB  |  179 lines  |  [TEXT/MGRB]
  1.  
  2. The system can handle the following mathematical objects:
  3.  
  4. - polynomials    (already seen)
  5.  
  6. - list of polynomials
  7.  
  8. - ideals
  9.  
  10. - modules
  11.  
  12. - matrices
  13.  
  14.  
  15. _______________________________________________
  16.  
  17. A list of polynomials can be defined in this way:
  18.  
  19. L = { tú-y , tó-y, t░-z}
  20.  
  21. is a list of polynomials
  22.  
  23. I= ideal(tú-y , tó-y, t░-z)
  24. or 
  25. I= ideal(L)
  26.  
  27. is the ideal generated by  tú-y , tó-y, t░-z .
  28.  
  29. m=module(2; x, y ; z¬+1, yú-t; z-t, y+2)
  30.  
  31. is the module of rank 2 generated by  (x, z) , (z¬+1, yú-t) and ( z-t, y+2)
  32.  
  33.  
  34. M= matrix(3,3 , x, y, z¬+1, t, xú, y, z, t-1/2, x)
  35.  
  36. is a square 3x3-matrix 
  37.  
  38.  
  39. Of course an object can be defined as result of a function.
  40.  
  41. F┌ = det(M)
  42.  
  43. L┌ = Leadterm(L)
  44.  
  45. I┌ = Interreduce(Homog(t,ideal(xú-y,xó-z-1)))
  46.  
  47. m┌ = Syz(I)
  48.  
  49. M┌ = transp(M)
  50.  
  51.  
  52. Cancel(F┌, L┌,I┌,m┌,M┌)
  53. -----------------------------------------------------
  54.  
  55. An ideal is not only the list of generators but a structured object that keeps several informations: GrÜbner basis , strandard basis, Poincare series,...
  56.  
  57. ideals can be added , multiplied, raised to a power
  58.  
  59. I = ideal(x¬-yzú+1, (t¬-2zú)¬) ; J = ideal(xó-yú, tx-y¬z, x+3) 
  60.  
  61. I+J ;  IJ ;  Jú
  62.  
  63. and multiplied by a polynomial
  64.  
  65. (x+y¬+zú) I¬
  66.  
  67. _______________________________________________
  68.  
  69. COMPUTATION OF GBASIS AND RELATED FUNCTIONS
  70.  
  71. It is possible to compute a GrÜbner basis of 
  72. -  a list of polynomials
  73. -  an ideal 
  74. -  a module
  75.  
  76. by means of     Gbasis(....)
  77.  
  78. If the argument is an identifier of an ideal (or module), then the result is stored in the object and used whenever it need.
  79.  
  80. I=ideal(xúy-z¬+1, xz¬+ty-z);
  81. gbasis(I) 
  82. I
  83.  
  84. gbasis(xúy-z¬+1, xz¬+ty-z)
  85.  
  86. ---------------------------------------------------------
  87.  
  88. Usually the user does not need to compute a Gbasis . Although the subsequent functions involve the computation of one or more Gbasis and sometime a special ordering, all this is done by the system
  89. -----------------------
  90. Intersection of ideals
  91.  
  92. I= ideal(xú-y, xó-z) ; J=ideal(x+y, z¬); K = ideal(x,y,z)ó
  93.  
  94. K&I&J
  95. ------------------------------------------
  96. Division of an ideal by a polynomial or by an ideal
  97.  
  98. ideal(  yz-x¬╩, xz-y¬) : (xy - z¬)
  99.  
  100. I=ideal(xy-zt, x¬z-y¬t, xú-t¬y, yú-xz¬) ; J = ideal(x,y,z,t) 
  101. I:J
  102.  
  103. ------------------------------------------
  104. Normal form of a polynomial w.r.t. an ideal
  105.  
  106. F= t¬+xú+yó ; 
  107. G=xóy¬ - 2txúyz + t¬x¬z¬ - xúy + t¬y¬ - x¬y¬ + 2txyz - t¬z¬ + xú - t¬y;
  108. I=ideal(xy-zt, x¬z-y¬t, xú-t¬y, yú-xz¬);
  109.  
  110. Normalform(F,I) ; Normalform(G,I) 
  111.  
  112. -------------------------------------------
  113. Elimination of indeterminates
  114.  
  115. Elim(t,ideal(x - tú┴+tñ+t , y - tÑ , z - t┴╝))
  116.  
  117. -------------------------------------------
  118. Homogeneization of an ideal
  119.  
  120. I=ideal(x- tú┴+tñ, y-tÑ,z-t┴ú) ; J=Homog(u, Elim(t,I))
  121.  
  122. ----------------------------------------------
  123.  
  124. Syzygies of  ideals and modules
  125.  
  126. I=ideal(xΓ-yΓ¬, x┌-yΓy┌, x█-yΓy█, x▄-y┌¬, x▌-y┌y█, x▐-y█¬ );
  127. J=Elim(yΓ..y█, I);
  128. M┌=Syz(J);
  129. M█=Syz(M┌);
  130. M▄=Syz(M█);
  131. J; M┌; M█;M▄
  132.  
  133. ---------------------------------------------
  134.  
  135. An exercise on minimal polynomials
  136.  
  137. Let us consider the field extension of the field  Q  (rational numbers) given
  138.  
  139. by  Q(x) = Q[x] where x is a root of the irreducible polynomial   x░-x-1
  140.  
  141. and let  y =  xú+x-1  in Q(x) . The minimal polynomial of y can be 
  142.  
  143. obtained by eliminating x in (x░-x-1 ,y-xú-x+1):
  144.  
  145.  
  146. f=x░-x-1;   g=y-xú-x+1;  i=ideal(f,g);  elim(x,i)
  147.  
  148.  
  149.  
  150.  
  151.  
  152. we can check the result
  153.     ╔[y=y-g] mod f
  154.  
  155. Here we have used the pattern of sostitution. Indeed it is possible to substitute in an object (polynomial, list, ideal, module) one or more indeterminates with polynomial
  156.  
  157.         F = x¬+yú+zó+t░ ;
  158.         F [ x=y, y=x, t=(z-t)¬] 
  159.  
  160. i=ideal(x-t,y-tú,z-tó); 
  161. J=homog(u,i)[u=xΓ, x=x┌, y=x█, z=x▄]
  162.  
  163. of course we must add the indeterminates xΓ, x┌, x█, x▄
  164.  
  165. ------------------------------------------------
  166.  
  167. Poincare series and Hilbert function of an ideal 
  168. (these functions have been implemented by A. Bigatti and M. Caboara)
  169.  
  170.  
  171. I=ideal(xΓ-sª,x┌-sñt, x█-stñ, x▄-tª); J = elim(s..t,I) ;J
  172.  
  173.  
  174.  
  175. let us cancel  s t in the ring and reinput J
  176.  
  177. Poincare(J);
  178. HilbertFn(J);
  179. dim(J); mult(J)